Rabu, 24 November 2010

PELUANG

DEFINISI
Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.
P(A) = k / n
Dimana
k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin
Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel
Contoh:
1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
    A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
    Maka :
    S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
    A = {mmb, bmm}
    n(S) = 2³ = 8
    n(A) = 2
    P(A) = 2/8 = 1/4
2. Percobaan melempar dadu satu kali.
    A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
    Maka :
    S = {1,2,3,4,5,6}
    A = {2,4,6}
    n(S) = 6
    n(A) = 3
    P(A) = 3/6 = 1/2
Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku
            _
P(A) + P(A) = 1
Contoh:
Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?
Jawab:
P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

PELUANG KEJADIAN BEBAS DAN TAK BEBAS

DEFINISI Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika
P(AÇB) = P(A). P(B)
Contoh:
Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam
Jawab:
Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II
P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
   _                  _
P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
        _        _         _      _
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :
P (AUB) = P(A) + P(B)
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
         n(S) - (6)² = 36
A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
     n(A) = 5
B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}
     n(B) = 3
P(A) = 5/36        P(B) = 3/36
AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®
       { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
       n(AUB) = 8
P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang saling asing.

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)
Contoh:
Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =      { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =      {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6
P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang tidak saling asing.

SOAL SUKU BANYAK

1. Jumlah semua koefisien (x² + 3x + 2)(x³ – 3x² + 4x + 3) adalah

2. Jika suku banyak x⁴ + 5x³ – 2x² – 3x – 7 dibagi oleh x – 2 maka sisanya adalah

3. Hasil pembagian suku banyak x⁴ + 6x + 7 oleh x + 3 adalah

4. Tentukan hasil bagi dan sisanya jika 2x⁵ – 3x⁴ + 7x² – 5 dibagi oleh x – 4

5. Jika 6x⁴ + 5x³ + 10x² + 18x + 10 dibagi oleh 3x + 1 maka sisanya adalah

6. Tentukan hasil baginya jika suku banyak 2x⁴ – 9x³ + 12x² + 3x + 20 dibagi oleh 2x – 5

7. Jika suku banyak x⁶ + x⁵ + 3x⁴ + 5x³ + 7x² + 5x + 10 dibagi oleh x² – x – 2 maka hasil bagi dn sisanya adalah

8. Suku banyak 2x⁵ + 7x⁴ – 3x³ – 8x² + 10x – 15 dibagi oleh x² + 2x – 5. Hasil bagi dan sisanya adalah

9. Hasil bagi dan sisanya jika suku banyak x⁸ + 2x⁶ – 8x⁵ + 12x⁴ – 20x³ + 20x² – 30x + 16 = 0 dibagi oleh x³ + 2x² + 3x – 4 adalah

10. Tentukan hasil bagi dan sisanya jika suku banyak 2x⁶ – 7x⁵ – 6x⁴ – 17x³ + 9x² +5 x – 10 dibagi oleh 2x² + 3x + 5

FUNGSI

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmufungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim. (dinamakan sebagai kuantitatif. Istilah "

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Grafik contoh sebuah fungsi,
$\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

$f : A \rightarrow B$

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

$x \in A$

$f : x \rightarrow x^2$

atau

$f(x) =\, x^2$

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Jenis-jenis fungsi

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ $\in A$ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂f(a₁) sama dengan f(a₂). maka

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain Ba dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif. terdapat tepat satu

DERET

BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^{^n-1}
U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^{^n-1} ® fungsi eksponen (dalam n)
DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(r^ⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-r^ⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:
DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga    S_{_¥} = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar²+ ar³+ ar⁴+ .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar²+ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M₀, M₁, M₂, ............., M_n
M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀
M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀
.
.
.
.
M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M_ⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M₀, M₁, M₂, .........., M_n
M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀
M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
     = (1 + P/100)² M₀.
.
.
Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀
Keterangan :
M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

STRUKTUR ALJABAR

GRUP
Suatu grup (G, *) adalah suatu himpunan tak-kosong beserta satu operasi biner *: G * G ® G, yang memenuhi sejumlah aksioma. “a * b” menyatakan hasil penerapan operasi * terhadap pasangan terurut (a,b) unsur-unsur G. Aksioma-aksioma tersebut adalah
1. Sifat asosiatif. Untuk semua a, b dan c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
2. Unsur identitas. Terdapat satu unsur e dalam G sedemikian sehingga untuk semua a dalam G, e * a = a * e = a
3. Unsur invers. Untuk semua a dalam G, terdapat suatu unsur dalam G sedemikian sehingga a * b = b * a = e, dimana e adalah unsur identitas dari aksioma sebelumnya.
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis secara perkalian. Yaitu:
Kita menulis “a • b”, atau bahkan “ab”, untuk a * b.
Kita menulis “1″ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
Kita menulis “a-1″ untuk invers a dan menyebutnya kebalikan dari a.
Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis secara jumlah:
Kita menulis “a + b untuk a * b dan menyebutnya jumlah a dan b.
Kita menulis “0″ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
Kita menulis “-a” untuk invers a dan menyebutnya lawan dari a.
Definisi grup :
Sistem matematika ( G, X )disebut grup jika memenuhi :
Sifat assosiatif
Untuk setiap unsur a, b, c di G berlaku ( ab ) c = a ( bc )
Unsur kesatuan
Terdapat unsur e di G yang memenuhi ae = ea = a untuk semua unsur a di G. unsur e disebut unsur kesatuan.
Balikan
Untuk setiap unsure a di G terdapat unsur a-1 di G yang memenuh aa-1 = a-1a = e. unsure a-1 disebut balikan unsur a.
Contoh grup
salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan bulat, {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…} dan simbol “+” sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) merupakan suatu grup.
Bukti:
a+ b ∈ Z a, b ∈ Z
( a+ b )+ c = a + (b + c ) a, b, c ∈ Z (sifat assosiatif )
0 + a = a 0∈Z∀a∈Z ( Elemen identitas )
a∈Z, ∃b= -a ∋
a + b = b + a = 0 ( elemen invers )
Sedangkan untuk operasi ( “Z” , x ) bukan merupakan grup, karena sifat balikannya tidak terpenuhi.

BANGUN DATAR

Rumus Bangun Datar

Rumus Persegi

Luas = Sisi (s)²

Keliling = Sisi (s) x 4

Rumus Persegi Panjang

Luas = Panjang (p) x Lebar (l)

Keliling = Panjang (p) x 2 + Lebar (l) x 2

Rumus Segitiga

Luas = ½ x Alas (a) x Tinggi (t)

Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A² + B² = C²)

Rumus Jajar Genjang

Luas = Alas (a) x Tinggi (t)

Rumus Trapesium

Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi (t)

Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Lingkaran

Luas = π (pi) x jari-jari (r)²

VOLUME BANGUN RUANG

Prisma

Rumus volume = luas alas * tinggi

Balok

Rumus Vol Balok = p x l x t

Tabung

Rumus = luas alas * tinggi

= π * r² * tinggi

Prisma segitiga

Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 × (alas segitiga × tinggi segitiga) × tinggi prisma

Kubus

Rumus = sisi * sisi * sisi

= s³

^{Limas (piramida)}

^{Rumus = 1/3 * volume prisma}

^{= 1/3 * luas alas * tinggi}

^{Limas persegi}

^{Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi}

^{= 1/3 * luas persegi * tinggi}

^{Limas segitiga}

^{Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi}

^{= 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma}

^Kerucut

^{Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi}

^{= 1/3 * phi * r² * tinggi}

Prisma

Rumus volume = luas alas * tinggi

Balok

Rumus = luas alas * tinggi

= panjang * lebar * tinggi

Tabung

Rumus = luas alas * tinggi

= π * r2 * tinggi

Prisma segitiga

Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Kubus

Rumus = sisi * sisi * sisi

= s3

Limas (piramida)

Rumus = 1/3 * volume prisma

= 1/3 * luas alas * tinggi

Limas persegi

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * luas persegi * tinggi

Limas segitiga

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Prisma

Rumus volume = luas alas * tinggi

Balok

Rumus = luas alas * tinggi

= panjang * lebar * tinggi

Tabung

Rumus = luas alas * tinggi

= π * r2 * tinggi

Prisma segitiga

Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Kubus

Rumus = sisi * sisi * sisi

= s3

Limas (piramida)

Rumus = 1/3 * volume prisma

= 1/3 * luas alas * tinggi

Limas persegi

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * luas persegi * tinggi

Limas segitiga

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Kerucut

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * phi * r2 * tinggi

Rabu, 24 November 2010

PELUANG

SOAL SUKU BANYAK

FUNGSI

Grafik contoh sebuah fungsi, Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

Notasi

Fungsi sebagai relasi

Domain dan Kodomain

Jenis-jenis fungsi

Fungsi injektif

Fungsi surjektif

Fungsi bijektif

DERET

STRUKTUR ALJABAR

BANGUN DATAR

VOLUME BANGUN RUANG

Prisma

Balok

Tabung

Prisma segitiga

Kubus

Limas (piramida)

Limas persegi

Limas segitiga

Kerucut

Grafik contoh sebuah fungsi,
$\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

^{Limas (piramida)}

^{Limas persegi}

^{Limas segitiga}

^Kerucut